計測エンジニアリングシステム株式会社

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PRODUCT SMART UQ

不確かさの定量化の概要

定義

UQ（Uncertainty Quantification）とは、計算工学や実世界のシステムにおける不確かさを定量化すること、すなわち統計的に特徴づけ、特性を明らかにし、原因を突き止め、管理する科学のことです。 UQは、実世界のばらつきや確率的なふるまいを工学やシステム分析に組み込む際に生じる問題に対処することを目的としています。シミュレーションや試験は、通常以下のような質問に答えるものです。「システムに単一のある入力を与えたときに何が起こるか？」 しかしUQはこの問いを発展させ、次のように問いかけます。「システムが不確実で、変化しうる入力範囲を持っている場合に、何が起こりうるか？」ということです。

バックグラウンド

UQは、数学、統計学、エンジニアリング領域が交わる分野からスタートしました。これらの多様な分野から、研究対象となるシステムの内部構造に関する知識を必要せず、またシステムに依存しないこれらの強力なUQ手法が生まれました。つまりUQの手法を利用するには入出力の応答動作に関する情報のみだけで十分です。そのため、エンジニアリングシステムで有効な手法は、同様のふるまいを示す金融問題にも同様に適用できる可能性があるということです。これにより、今後もますます多くの産業がUQの進歩の恩恵を受けることができるようになるでしょう。

なぜ「不確かさの定量化」なのか？

UQの手法は、これまで答えの出なかった多くの疑問に答えることができるため、さまざまな業界のエンジニアやモデリングの専門家に急速に採用されています。これらの手法により、以下のことが可能になります。

  • ほとんどすべてのシステムに内在する不確かさの理解
  • 不確かな入力に対するシステム応答の予測
  • 予測に対する信頼性の定量化
  • 広範囲の入力に対して安定した最適なソリューションの発見
  • 開発期間、試作コスト、および予期せぬ故障の削減
  • 確率論的設計プロセスの導入

不確実性の原因と種類

不確かさとは何か？

図1：不確かさが生じる仕組み

1つの出力に対して、多くの不確かさの要因が影響を与えることがあります。この図では、ある部品の予測される性能は、当初の設計値を中心とした正規分布に沿っています。

現実の世界には不確かさがつきものです。 2つの物理的な実験でまったく同じ出力値が得られることはなく、関連する多くの入力が未知であったり測定不可能であったりします。 不確かさは，エンジニアリングのモデリングや設計のほぼすべての側面に影響を与えます．エンジニアは長年にわたり、測定誤差、不確かな材料特性、未知の設計需要プロファイルに対して、安全係数を含めたり、設計を徹底的にテストすることで対処してきました。 不確かさの原因をより深く理解し、定量化することで、既知のレベルの信頼性を持ってより良い意思決定を行うことができます。

不確かさの種類

不確かさには、大きく分けて「偶然的不確かさ」と「認識論的不確かさ」の2種類があります。

偶然的不確かさ

偶然的不確かさとは、より多くの情報を集めたとしても低減することができない不確かさのことです。このような不確かさは、システムに固有のものと考えられ、確率分布で表現するのが最適です。この種の不確かさの例としては、サイコロを振った結果や放射性崩壊などがあります。

認識論的不確かさ

認識論的不確かさとは、理論的には知ることができても、現時点では入手できない情報があるために生じる不確かさのことです。したがって、認識上の不確かさは、正しい情報を収集することで低減できると考えられますが、そのための費用や困難さのために低減できないことがよくあります。この種の不確かさの例としては、ロット毎の材料特性、製造寸法、負荷のばらつきなどがあります。

シミュレーションと実験における不確かさの一般的な原因

図2：不確かさの下でのシナリオ

この図は、さまざまなオペレーターのツール使用状況を示しています。1人のオペレーターが使用する個々のツール間のばらつきにより、各オペレーターに分布が生じています。また、オペレーター間でも大きな違いがあります。

シミュレーションや実験における不確かさは、境界条件、初期条件、システムパラメータ、またシステムモデル、計算自体に存在します。これらの不確かさは、「入力の不確かさ」、「モデルの形式とパラメータの不確かさ」、「計算・数値誤差」、「物理テストの不確かさ」の4つのカテゴリーに分けて考えることができます。

不確かな入力

初期条件、境界条件、過渡的な強制関数を含むシステムの入力は、不確かさの対象となる可能性があります。これらの入力は、大きく、記録可能だが未知の方法で変化する可能性があります。
これは多くの場合、動作条件、設計形状および構成、負荷条件、天候、および人間の操作による入力に当てはまります。不確かな入力は、理論的には一定であったり、既知の関係に従っていたりしますが、何らかの不確かさを内在している場合もあります。
これは、測定された入力、製造公差、材料特性のばらつきなどの場合によく見られます。

モデリングフォームとパラメータの不確実性

図3：不一致関数

モデルフォームの不確かさは、不一致関数で表されることがあります。これらの関数は、モデル化された結果と物理的な結果の間の予測される差を、両者に内在する不確かさを含めて与えます。

すべてのモデルは、現実の近似値です。モデリングの不確かさは、モデルを選択する際のエラー、仮定、近似の結果です。これはさらに、モデル形式の不確かさ（関連するシステムの動作を捕捉するモデルの能力に関する不確かさ）と、パラメータの不確かさ（モデル内のパラメータに関する不確かさ）に分けられます。

重力を例にとると、ニュートンの重力モデルにはモデル形式の誤りがあり、それが一般相対性理論によって修正されました。そのため、ニュートン重力モデルによる予測には、モデル形式の不確かさが存在します。重力加速度などのパラメータに不確かさや誤差があります。この不確かさは、多くの場合、物理的特性の測定または推定における誤差の結果であり、より多くの情報が得られるようになったときに、キャリブレーションを使用して関連するパラメータを調整することで低減することができます。

計算および数値の不確かさ

シミュレーションや多くの数学モデルを解くためには、基礎となる方程式を簡略化したり、近似したりする必要があり、その結果、切断誤差や収束誤差などの計算誤差が生じます。これらの誤差は、同じシステムやモデルであっても、数値ソルバーによって異なり、各ソルバーで採用されている近似や設定に依存します。また，機械精度の限界や，デジタルシステム特有の丸め誤差などによっても，さらなる数値誤差が生じます。

物理的試験の不確定性

図4：テストのばらつき

同一の故障試験の間のばらつきは、物理的なシステムに内在する不確かさを示しています。

物理試験では、不確かさは、制御されていないか未知の入力、測定誤差、偶然的（ランダム）な現象、および最大解像度や特殊な平均化などの試験の設計・実施における制限から生じます。これらの不確かさが存在すると、実験データにノイズが発生し、目的の測定に対する不確かさの影響を低減するためには、実験の繰り返しや再現性のテストが必要になります。

データサンプリング
DATA SAMPLING

実験計画法（DOEs）
DESIGN OF EXPERIMENTS

エミュレーション（代理モデル構築）
EMULATION

統計的キャリブレーション
STATISTICAL CALIBRATION

感度解析
SENSITIVITY ANALYSIS

不確かさの伝播
UNCERTINTY PROPAGATION

最適化
STATISTICAL OPTIMIZAION

逆解析
INVERSE ANALYSIS